ق
قدّام
الهندسة ← التشابه والتطابق

التشابه والتطابق

تعلّم الفرق بين التشابه والتطابق في المثلثات والأشكال الهندسية، مع حالات إثبات كل منهما واستخدام نسبة التشابه لحساب الأطوال والمساحات.

١٥ دقيقة٦ أمثلة تفاعليّة٣ أسئلة استرجاع + سؤال تمهيدي

المتطلبات السابقة

المثلثات: أنواعها وخصائصهانظرية فيثاغورس
التشابه والتطابق٠٪

سؤال تمهيدي — خمّن قبل أن نتعلّم

لا بأس إن أخطأت؛ المحاولة قبل التعلّم تجعل عقلك يلتقط الفكرة أسرع وأعمق.

في الشكل المجاور، المثلثان متشابهان. أوجد طول الضلع س.

⁧٤ سم⁩ ⁧٨ سم⁩ ⁧٦ سم⁩ س
١

افهم المفهوم

اقرأ كل بطاقة على مهلك ثمّ علّم «فهمت».

✓ (٥٨) تطابق المثلّثين✓ (٥٩) تشابه المثلّثين✓ (٦٠) نسبة التشابه وأثرها على الأطوال والمساحات والحجوم✓ (٦١) نظرية ثاليس (المستقيم الموازي لضلع)✓ (٦٢) تطبيق الظلال (التشابه في الحياة العمليّة)✓ ملحوظات هامة
حالات تطابق المثلثاتضلع-ضلع-ضلعضلع-زاوية-ضلعزاوية-ضلع-زاوية
حالات تطابق المثلثَين: ض.ض.ض · ض.ز.ض · ز.ض.ز · ز.ز.ض.

شكلان متطابقان إذا كان لهما الشكل نفسه والحجم نفسه؛ أي إن كل ضلعَين متناظرَين متساويان وكل زاويتَين متناظرتَين متساويتان.

حالات تطابق المثلّثَين:

الحالةالرمزالشرح
الحالة الأولى(ض.ض.ض)تطابق ٣ أضلاع من الأول مع نظيراتها في الثاني
الحالة الثانية(ض.ز.ض)تطابق ضلعَين والزاوية المحصورة بينهما
الحالة الثالثة(ز.ض.ز)تطابق زاويتَين والضلع الواصل بينهما
الحالة الرابعة(ز.ز.ض)تطابق زاويتَين وضلع غير محصور بينهما

مثال: مثلّثان متطابقان، طول ضلع في الأول ٧ سم. ما طول الضلع المناظر له في الثاني؟

(أ) ١٤ سم   (ب) ٧ سم   (ج) ٣٫٥ سم   (د) ٤٩ سم

الإجابة: (ب) ، التطابق ⟸ الأضلاع المتناظرة متساوية، س = ٧ سم.

ملاحظة
التطابق = نفس الشكل + نفس الحجم. التشابه = نفس الشكل فقط (الحجم قد يختلف). كل تطابق هو تشابه لكن ليس العكس.
ملاحظة
لإثبات التشابه، يكفي إثبات تساوي زاويتين (حالة ز.ز) ، لأن الزاوية الثالثة ستكون متساوية تلقائيًّا.
أداة وقانون
نسبة المساحات = مربع نسبة الأطوال. هذه القاعدة تظهر كثيرًا في أسئلة القدرات.
٢

أمثلة محلولة (٦) — جرّب أولًا

توقّع الإجابة قبل الكشف؛ التفكير قبل المعرفة يرسّخ التعلّم. الأمثلة مرتّبة من الأسهل للأصعب.

مثال ١
المثلثان في الشكل المجاور متطابقان. إذا كان طول ضلع في الأول = ٧ سم، فما طول الضلع المناظر له س في الثاني؟
٧س≅

توقّع الإجابة أولًا:

مثال ٢
مثلثان متشابهان نسبة أطوال أضلاعهما ٣ : ١. ما نسبة مساحتيهما؟

توقّع الإجابة أولًا:

مثال ٣
مثلثان متشابهان، نسبة التشابه بينهما ٢ : ٣. إذا كان محيط المثلث الأصغر = ٢٠ سم، فما محيط الأكبر؟
٢٣الأصغرالأكبر

توقّع الإجابة أولًا:

مثال ٤
مثلثان متشابهان، ضلع في الأول ٤ سم ونظيره في الثاني ١٠ سم. فإذا كان ضلع آخر في الأول ٦ سم، فما طول نظيره في الثاني؟

توقّع الإجابة أولًا:

مثال ٥
عمود طوله ٢ م يصنع ظلًّا طوله ٣ م، وفي اللحظة نفسها يصنع برجٌ ظلًّا طوله ١٥ م. ما ارتفاع البرج؟
٢٣؟١٥العمودالبرج

توقّع الإجابة أولًا:

مثال ٦
في الشكل، المستقيم د هـ يوازي ب ج في المثلث أ ب ج. إذا كان أ د = ٤ وَ د ب = ٦ وَ د هـ = ٨، فما طول ب ج؟
أبجـدهـ٤٦٨س

توقّع الإجابة أولًا:

٣

اختبر فهمك

أسئلة جديدة من بنك التدريبات — الاسترجاع من أقوى أدوات التثبيت.

في الشكل المجاور، المثلثان متطابقان. أوجد قياس الزاوية س.

⁧٤٠°⁩ ⁧٦٠°⁩ س
ما مدى ثقتك؟

مثلثٌ كبير قاعدتُه ١٢ سم وارتفاعُه ٨ سم، قُطِع من قمّته مثلثٌ صغير مشابه له قاعدتُه ٦ سم بخطٍّ موازٍ للقاعدة. أوجد مساحة شبه المنحرف المظلل بينهما.

شبه منحرف بين مثلثين متشابهين١٢٦٨
ما مدى ثقتك؟

مجسمان متشابهان، نسبة طولَي ضلعَيهما المتناظرَين ٢ : ٣. أوجد نسبة حجمَيهما.

مجسمان متشابهان — نسبة الحجمين٢٣
ما مدى ثقتك؟
٤

تجنّب الأخطاء الشائعة

اقرأ الخطأ وفكّر في سببه قبل كشف التصحيح.

الخطأ: استخدام نسبة التشابه مباشرة للمساحات

لماذا يحدث: نسبة المساحات = مربع نسبة التشابه وليست نفسها.

الخطأ: الخلط بين ترتيب الرؤوس المتناظرة

لماذا يحدث: عند كتابة △ أ ب ج ∼ △ د هـ و، الترتيب يعني أ↔د، ب↔هـ، ج↔و.

الخطأ: اعتبار أن تساوي الأضلاع يكفي للتطابق بدون التحقق من ترتيبها

لماذا يحدث: يجب أن تكون الأضلاع المتناظرة هي المتساوية.
٥

ثبّت بالتدريب المتداخل

خلط الأنواع (تداخل) يضاعف الأداء في الاختبار مقابل التدريب المتكتّل.

أكمل البطاقات والأمثلة والاختبار أعلاه، ثمّ انتقل إلى تدريب متداخل لترسيخ المهارة.

ابدأ التدريب الذكيّ — يستهدف أضعف نقاطك ←
قدّام | منصة التدريب على اختبارات القدرات والتحصيلي وموهبة