التحصيلي

اختبار التحصيل الدراسي — المسار العلمي

← الدوال والمتباينات والمصفوفات
٣

القسم ٥ · الدوال والمتباينات والمصفوفات — الموضوع ٣ من ٤

العلاقات والدوال وقيمة الدالة

  • الدالة علاقةٌ يرتبط فيها كلُّ عنصرٍ في المجال بعنصرٍ واحدٍ في المدى.
  • المجال قيمُ x التي يصحّ التعويض بها؛ والمدى القيمُ الناتجة.
  • لإيجاد قيمة الدالة عند نقطةٍ نعوّض بها (بشرط انتمائها للمجال).
مثالإذا كانت f(x) = 4x − 3 فأوجد f(−2).
f(−2) = 4(−2) − 3 = −8 − 3 = −11
  • في الدالة متعددة التعريف نعوّض بالعدد في الجزء الذي يحقّق شرطه ثم نبسّط.
الدالة المتشعبةxyy = x , x < 1y = x + 1 , x ≥ 1الدالة المتشعبة: قفزة عند نقطة الانفصال
الدالة المتشعبة: قفزة عند نقطة الانفصال

الدالة الدرجية ودالة القيمة المطلقة

  • الدالة الدرجية (أكبر عدد صحيح) f(x) = ⟦x⟧ تُعطي أكبر عددٍ صحيحٍ ≤ x.
    • أمثلة: ⟦3.7⟧ = 3 ، ⟦−3.7⟧ = −4.
    • مجالها R ومداها الأعداد الصحيحة Z.
f(x) = ⟦x⟧
منحنى الدالة الدرجية f(x) = ⟦x⟧ سُلَّميٌّ: على كل فترة ⟦n , n + 1) تكون القيمة العدد الصحيح n (النقطة الممتلئة عند الطرف المغلق والمفرّغة عند المفتوح)، فالمدى أعدادٌ صحيحة.
  • دالة القيمة المطلقة الأمّ f(x) = |x| والقيمة المطلقة موجبةٌ دائمًا.
    • مجالها R ومداها [0, ∞).
    • الصورة العامة f(x) = |x − a| + b مداها [b, ∞).
تنبيه

💡 فائدة: x² = |x|.

دالة القيمة المطلقةxy(0, 0)y = |x|دالة القيمة المطلقة
دالة القيمة المطلقة

المتباينات الخطية وأنظمتها

المتباينة الخطية عبارةٌ تحوي متغيّرين x و y وإحدى العلامات (>، ≥، <، ≤)، ويُمثَّل حلُّها بمنطقةٍ في المستوى.

  • النقطةُ تقع في منطقة الحل ⟺ تحقّق المتباينة.
  • في نظام المتباينات تكون نقطةُ الحل هي التي تحقّق جميع المتباينات معًا (تقاطع المناطق).
✓
نظام متباينتين خطيّتين: لكلِّ متباينةٍ مستقيمٌ حدّيٌّ (أزرق وبرتقالي)، ومنطقةُ الحلّ المشتركة (الأخضر) هي تقاطعُ المنطقتين، فكلُّ نقطةٍ فيها تحقّق المتباينتين معًا.
منطقة الحل الممكنةxy(0, 0)(3, 0)(2, 3)(0, 4)3x + y = 9x + 2y = 8منطقة الحل الممكنة (البرمجة الخطية)
منطقة الحل الممكنة (البرمجة الخطية)
منطقة المتباينة الخطيةxyy ≥ x - 1y = x - 1منطقة حلّ متباينة خطية (الحد صلب، المنطقة أعلاه)
منطقة حلّ متباينة خطية (الحد صلب، المنطقة أعلاه)

المصفوفات والعمليات عليها

المصفوفة ترتيبٌ مستطيلٌ للأعداد، رتبتها m × n (m صفوف، n أعمدة)، والعنصر aij في الصف i والعمود j. ومصفوفة الوحدة I قطرها الرئيس آحادٌ وبقيتها أصفار.

n أعمدةm صفوفa₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃
المصفوفة رتبتها m × n (m صفوفًا و n أعمدة)، والعنصر aij يقع عند تقاطع الصف i مع العمود j — هنا a₂₃ (الورديّ) في الصف الثاني والعمود الثالث.
  • الجمع والطرح: فقط لمصفوفتين من الرتبة نفسها، بجمع/طرح العناصر المتناظرة.
abcd+efgh=a + eb + fc + gd + h
جمع مصفوفتين من الرتبة نفسها يكون **بجمع العناصر المتناظرة** (كلُّ عنصرٍ مع نظيره في الموضع نفسه)؛ والطرح بالمثل.
  • المصفوفتان متساويتان إذا تساوت رتبتاهما وكلُّ عنصرين متناظرين.
  • الضرب في عدد (قياسي): نضرب العددَ في كل عنصر.
100010001
مصفوفة الوحدة I: قطرُها الرئيس آحادٌ (أخضر) وبقيّةُ عناصرها أصفار، وهي محايدُ الضرب فإنّ I · A = A.
  • ضرب مصفوفتين Am×r · Br×t ممكنٌ فقط إذا ساوى عددُ أعمدة الأولى عددَ صفوف الثانية، والناتج رتبته m × t.
abcd×egfh=c₁₁c₁₂c₂₁c₂₂c₁₁ = a·e + b·f
ضرب المصفوفات صفًّا في عمود: عنصرُ الناتج c₁₁ = (الصفّ الأول من A الورديّ) · (العمود الأول من B الأزرق) = a·e + b·f؛ ويُكرَّر لكل موضع.
مثالناتج ضرب الصفّ (a, b) في العمود ثم تكوين العنصر: للمصفوفتين ذات الصفوف (a, b) و (c, d) مضروبةً في (e, g) و (f, h):
الناتج صفّاه (a·e + b·f ، a·g + b·h) و (c·e + d·f ، c·g + d·h)

أمثلة على «العلاقات والدوال وقيمة الدالة»

مثال ١

إذا كانت f(x) = 3x − 2 فإن f(−3) تساوي:

◎ توقّع الإجابة أولًا:

الموضوع السابق →← الموضوع التالي
قدّام | منصة التدريب على اختبارات القدرات والتحصيلي وموهبة