القسم ٧ · الدوال: العكسية والجذرية والنسبية — الموضوع ١ من ٣
تركيب الدوال والدالة العكسية
تركيب الدالتين (f ∘ g) معناه التعويض بـ g داخل f: (f ∘ g)(x) = f[g(x)] (تُقرأ «f تركيب g»).
الدالة العكسية f⁻¹: نستبدل f(x) بـ y، ثم نبدّل x و y، ثم نحلّ المعادلة بالنسبة لـ y.
💡 مجالُ f⁻¹ = مدى f، ومدى f⁻¹ = مجال f.
دالة الجذر التربيعي والصورة الأسية
دالة الجذر التربيعي f(x) = x − a + b:
- المجال: نضع (ما تحت الجذر ≥ 0): x ≥ a، أي [a, ∞).
- المدى: [b, ∞).
والصورة الجذرية تكافئ الصورة الأسية:
- عند ضرب الأساسات المتشابهة نجمع الأسس، وعند القسمة نطرحها؛ و ⁿa · ⁿb = ⁿab.
- لترشيد كسرٍ مقامُه جذرٌ نضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
⚠ إذا كان دليلُ الجذر زوجيًّا وأسُّ الناتج فرديًّا وجبت القيمة المطلقة: مثلًا ⁸(a−1)²⁴ = |a − 1|³.
حل المعادلات الجذرية
لعزل الجذر نجعله في طرفٍ ثم نرفع الطرفين لقوّةٍ تساوي دليل الجذر.
العبارات النسبية والعمليات عليها
العبارة النسبية نسبةٌ بين كثيرتي حدود، غيرُ معرَّفةٍ عند أصفار المقام، وتُبسَّط بتحليل البسط والمقام واختصار العوامل المشتركة.
| العملية | القاعدة |
|---|---|
| الضرب | (ab)·(cd) = acbd |
| القسمة | (ab)÷(cd) = adbc |
| الجمع | (ab) + (cd) = ad + bcbd |
| الطرح | (ab) − (cd) = ad − bcbd |
- المضاعف المشترك الأصغر (LCM): نحلّل كلَّ مقدارٍ إلى عوامله، ثم نضرب العواملَ المشتركةَ بأكبر أسٍّ وغيرَ المشتركة.
- والكسر المركّب نكتبه على صورة قسمةٍ ثم نطبّق قاعدة القسمة.
أمثلة على «تركيب الدوال والدالة العكسية»
مثال ١
إذا كان g = {(3, 9)} و f = {(9, −7)} فإن (f ∘ g) يساوي:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٢
إذا كانت f(x) = 2x + 1 فإن الدالة العكسية f⁻¹(x) تساوي:
◎ توقّع الإجابة أولًا: