الدالة العكسية والانعكاس على y = x

تركيب الدالتين (f ∘ g) معناه التعويض بـ g داخل f: (f ∘ g)(x) = f[g(x)] (تُقرأ «f تركيب g»).

الدالة العكسية f⁻¹: نستبدل f(x) بـ y، ثم نبدّل x و y، ثم نحلّ المعادلة بالنسبة لـ y.

مثالأوجد الدالة العكسية للدالة f(x) = x − 34.

حاول أولًا، ثم اعرض الحل

نبدّل: x = y − 34 ⟹ 4x = y − 3 ⟹ y = 4x + 3

f⁻¹(x) = 4x + 3

تنبيه

💡 مجالُ f⁻¹ = مدى f، ومدى f⁻¹ = مجال f.

الدالة f (أزرق) ومعكوسها f⁻¹ (وردي) متماثلتان حول المستقيم y = x: فتبديلُ x و y يعكسُ كلَّ نقطةٍ (a, b) إلى (b, a)، ولهذا ينقلب المجال والمدى بينهما.

والدالةُ ومعكوسُها متماثلان حول المستقيم y = x، فينقلب المجالُ والمدى بينهما:

الدالة العكسية والانعكاس على y = x

أمثلة على «تركيب الدوال والدالة العكسية»

مثال ١

إذا كان g = {(3, 9)} و f = {(9, −7)} فإن (f ∘ g) يساوي:

◎ توقّع الإجابة أولًا:

مثال ٢

إذا كانت f(x) = 2x + 1 فإن الدالة العكسية f⁻¹(x) تساوي:

◎ توقّع الإجابة أولًا:

تركيب الدالتين (f ∘ g) معناه التعويض بـ g داخل f: (f ∘ g)(x) = f[g(x)] (تُقرأ «f تركيب g»).

الدالة العكسية f⁻¹: نستبدل f(x) بـ y، ثم نبدّل x و y، ثم نحلّ المعادلة بالنسبة لـ y.

مثالأوجد الدالة العكسية للدالة f(x) = x − 34.

حاول أولًا، ثم اعرض الحل

نبدّل: x = y − 34 ⟹ 4x = y − 3 ⟹ y = 4x + 3

f⁻¹(x) = 4x + 3

تنبيه

💡 مجالُ f⁻¹ = مدى f، ومدى f⁻¹ = مجال f.

والدالةُ ومعكوسُها متماثلان حول المستقيم y = x، فينقلب المجالُ والمدى بينهما:

الدالة العكسية والانعكاس على y = x