القسم ٧
الدوال: العكسية والجذرية والنسبية
Inverse, Radical & Rational Functions
تركيب الدوال والدالة العكسية، دالة الجذر التربيعي والصورة الجذرية والأسية وحل المعادلات الجذرية، العبارات النسبية والمضاعف المشترك الأصغر والعمليات عليها، دالة المقلوب والدالة النسبية وخطوط التقارب ونقطة الانفصال، ودوال التغير (الطردي والعكسي والمشترك والمركب) وحل المعادلة النسبية.
أمثلة محلولة
مثال ١
إذا كان g = {(3, 9)} و f = {(9, −7)} فإن (f ∘ g) يساوي:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٢
إذا كانت f(x) = 2x + 1 فإن الدالة العكسية f⁻¹(x) تساوي:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٣
مجال الدالة f(x) = x − 5 هو:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٤
حلّ المعادلة x − 1 + 3 = 6:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٥
ما قيمة x التي تجعل العبارة x + 3(x + 2)(x − 5) غير معرّفة؟
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٦
خط التقارب الرأسي للدالة f(x) = x − 2x² + 6x + 8 عند:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٧
r يتغيّر عكسيًّا مع t، و r = 8 عندما t = 5؛ فما r عندما t = 10؟
◎ توقّع الإجابة أولًا:
نصائح الإتقان
- • التركيب (f∘g)(x) = f[g(x)] (طبّق الداخلية أولًا)؛ والعكسية بتبديل x و y ثم الحلّ، ومجال العكسية = مدى الأصلية.
- • مجال الجذر: ما تحت الجذر ≥ 0؛ والصورة الجذرية ⁿ√(aᵐ) = am/n؛ وقد تلزم القيمة المطلقة عند دليلٍ زوجيٍّ وأسٍّ فردي.
- • العبارة النسبية غير معرّفة عند أصفار المقام؛ بسّط بالتحليل والاختصار، واستعمل LCM للجمع/الطرح.
- • الدالة النسبية: خط تقارب رأسي عند أصفار المقام، وأفقي بمقارنة الدرجات؛ ونقطة الانفصال عند عاملٍ مشترك.
- • التغير: طردي y = kx، عكسي xy = k، مشترك y = kxz، مركّب y = kxz.
أخطاء شائعة
- حساب (f∘g) بتطبيق f أولًا: (f∘g)(x) = f[g(x)] تعني تطبيق الداخلية g أولًا ثم f على ناتجها.
- إهمال شرط (ما تحت الجذر ≥ 0) في المجال: مجال الجذر التربيعي يتطلّب أن يكون المقدار تحت الجذر غير سالب.
- تبسيط عبارةٍ نسبية دون استبعاد أصفار المقام: العبارة النسبية غير معرّفة عند أصفار المقام حتى بعد الاختصار (تظهر كنقطة انفصال).
- جعل خط التقارب الأفقي دائمًا y = 0: y = 0 فقط إذا كانت درجة المقام أكبر؛ وإذا تساوت الدرجتان فـ y = نسبة المعاملين الرئيسين، وإذا كانت درجة البسط أكبر فلا خطَّ أفقي.