← المتجهات
٥
القسم ١٤ · المتجهات — الموضوع ٥ من ٦
الطول والزاوية والضرب الداخلي
إذا عُلِم طول المتجه |v| وزاويةُ اتجاهه θ مع الأفق:
v = ⟨|v| cos θ , |v| sin θ⟩
وإذا عُلِمت الصورة الإحداثية v = ⟨a , b⟩ فزاويةُ اتجاهه:
| إشارة a | الزاوية |
|---|---|
| a موجبة | θ = tan⁻¹(ba) |
| a سالبة | θ = tan⁻¹(ba) + π |
الضرب الداخلي (القياسي) لـ a = ⟨a₁ , a₂⟩ و b = ⟨b₁ , b₂⟩:
a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂
- شرط التعامد: a · b = 0.
- زاوية بين متجهين: cos θ = a · b|a| · |b|.
مثالهل المتجهان a = ⟨4 , −1⟩ و b = ⟨2 , 8⟩ متعامدان؟
a · b = (4)(2) + (−1)(8) = 8 − 8 = 0 ⟹ نعم، متعامدان
أمثلة على «الطول والزاوية والضرب الداخلي»
مثال ١
إذا كان الضرب الداخلي لمتجهين يساوي صفرًا فإن الزاوية بينهما تكون:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٢
إذا كان u = ⟨4 , x , 2⟩ و v = ⟨2 , −3 , 5⟩، فما قيمة x التي تجعل المتجهين متعامدين؟
◎ توقّع الإجابة أولًا: