تدريب الاختبار التحصيلي — فيزياء وكيمياء وأحياء ورياضيات

لمتجهٍ من A(x₁, y₁, z₁) إلى B(x₂, y₂, z₂):

AB = ⟨x₂ − x₁ , y₂ − y₁ , z₂ − z₁⟩

متجهات الوحدة القياسية: i = ⟨1 , 0 , 0⟩، j = ⟨0 , 1 , 0⟩، k = ⟨0 , 0 , 1⟩، والتوافق الخطي v = v₁·i + v₂·j + v₃·k.
الطول: |v| = v₁² + v₂² + v₃²، و متجه الوحدة: u = v|v|.
الضرب الداخلي: a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃ (وشرط التعامد a · b = 0).

الضرب الاتجاهي a × b يُعطي متجهًا عموديًّا على المستوى الذي يحوي a و b، ويُحسب من المحدِّد:

a × b = ⟨a₂·b₃ − a₃·b₂ , a₃·b₁ − a₁·b₃ , a₁·b₂ − a₂·b₁⟩

تنبيه

💡 إذا كان a و b ضلعين متجاورين في متوازي أضلاع فإن مساحة متوازي الأضلاع = |a × b| (طول متجه الضرب الاتجاهي).

لمتجهٍ من A(x₁, y₁, z₁) إلى B(x₂, y₂, z₂):

AB = ⟨x₂ − x₁ , y₂ − y₁ , z₂ − z₁⟩

متجهات الوحدة القياسية: i = ⟨1 , 0 , 0⟩، j = ⟨0 , 1 , 0⟩، k = ⟨0 , 0 , 1⟩، والتوافق الخطي v = v₁·i + v₂·j + v₃·k.
الطول: |v| = v₁² + v₂² + v₃²، و متجه الوحدة: u = v|v|.
الضرب الداخلي: a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃ (وشرط التعامد a · b = 0).

الضرب الاتجاهي a × b يُعطي متجهًا عموديًّا على المستوى الذي يحوي a و b، ويُحسب من المحدِّد:

a × b = ⟨a₂·b₃ − a₃·b₂ , a₃·b₁ − a₁·b₃ , a₁·b₂ − a₂·b₁⟩

تنبيه

💡 إذا كان a و b ضلعين متجاورين في متوازي أضلاع فإن مساحة متوازي الأضلاع = |a × b| (طول متجه الضرب الاتجاهي).

المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد