القسم ١٤
المتجهات
Vectors
العلاقات بين متجهين (التوازي والتساوي) والمحصلة بقاعدتي المثلث ومتوازي الأضلاع، تحليل متجه إلى مركبتين متعامدتين، الصورة الإحداثية وطول المتجه والعمليات عليه، متجه الوحدة والتوافق الخطي، الصورة الإحداثية بمعلومية الطول والزاوية، الضرب الداخلي وقياس الزاوية بين متجهين، والمتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد مع الضرب الاتجاهي.
الأقسام الفرعية
أمثلة محلولة
مثال ١
تسير سفينةٌ بسرعة 100 كم/س في اتجاهٍ زاويتُه 60° مع الأفق. ما مقدار المركبة الأفقية للسرعة؟
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٢
الصورة الإحداثية للمتجه AB حيث A(5, 3) و B(6, −9) هي:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٣
إذا كان a = ⟨3 , −2⟩ و b = ⟨5 , 7⟩ فإن a + b يساوي:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٤
طول المتجه v = ⟨0 , 6⟩ يساوي:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٥
إذا كان الضرب الداخلي لمتجهين يساوي صفرًا فإن الزاوية بينهما تكون:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٦
إذا كان u = ⟨4 , x , 2⟩ و v = ⟨2 , −3 , 5⟩، فما قيمة x التي تجعل المتجهين متعامدين؟
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٧
إذا كان a = ⟨0 , 5 , 3⟩ و b = ⟨7 , 0 , 1⟩ فإن a · b يساوي:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
نصائح الإتقان
- • المحصلة بقاعدة المثلث: بداية الثاني عند نهاية الأول؛ وإذا تعامد المتجهان فطول المحصلة = |a|² + |b|².
- • تحليل متجه: المركبة الأفقية N cos θ والرأسية N sin θ؛ كلما صغُرت θ كبُرت المركبة الأفقية.
- • الصورة الإحداثية للمتجه = (إحداثيات النهاية − إحداثيات البداية)، والطول √(مجموع مربعات المركبات).
- • متجه الوحدة u = v|v| دائمًا طولُه 1؛ والتوافق الخطي يكتب v = a·i + b·j (أو v₁i + v₂j + v₃k في الفضاء).
- • الضرب الداخلي عددٌ (قياسي) وشرطُ التعامد أن يساوي صفرًا؛ أما الضرب الاتجاهي a×b فمتجهٌ عمودي، وطولُه = مساحة متوازي الأضلاع.
أخطاء شائعة
- حساب الصورة الإحداثية بطرح النهاية من البداية: AB = ⟨x₂ − x₁ , y₂ − y₁⟩ أي (النهاية − البداية)، لا العكس.
- عدّ ناتج الضرب الداخلي متجهًا: الضرب الداخلي a·b عددٌ (قياسي)، أما الاتجاهي a×b فمتجهٌ عمودي على المستوى.
- استعمال طولٍ خاطئ للمركبة الأفقية والرأسية: المركبة الأفقية مع الأفق = N cos θ، والرأسية = N sin θ.
- افتراض تعامد متجهين دون فحص الضرب الداخلي: تأكّد من التعامد بحساب a · b: إذا كان = 0 فالمتجهان متعامدان فقط.