العدد المركّب ومرافقه

العدد المركب z = a + bi (الصورة الديكارتية) يُكتب على الصورة القطبية:

z = r(cos θ + i sin θ)

حيث r هو المقياس (القيمة المطلقة / سعة العدد) و θ زاويتُه:

المقياس r:

r = |z| = |a + bi| = a² + b²

والسعة θ:

الحالة	θ
a موجبة	tan⁻¹(ba)
a سالبة	tan⁻¹(ba) + π

حالتان خاصتان: إذا a = 0 و b موجبة فإن θ = 90°، وإذا a = 0 و b سالبة فإن θ = 270°.
من القطبي إلى الديكارتي: a = r cos θ و b = r sin θ.

مثالأوجد القيمة المطلقة (المقياس) للعدد المركب z = 3 + 4i.

|z| = a² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5

العدد المركّب ومرافقه

ضرب الأعداد المركبة وقسمتها

إذا كان z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁) و z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂):

z₁ · z₂ = r₁·r₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]

z₁z₂ = (r₁r₂) [cos(θ₁ − θ₂) + i sin(θ₁ − θ₂)]

مثالإذا كان z₁ = 5(cos 60° + i sin 60°) و z₂ = 2(cos 30° + i sin 30°)، أوجد z₁·z₂.

نضرب المقياسين (5×2) ونجمع الزاويتين (60°+30°):

z₁·z₂ = 10 [cos 90° + i sin 90°] = 10(cos 90° + i sin 90°)

نقطة على محيط عجلة (تطبيق)

مستوى أرجاند (عدد مركّب)