القسم ١٥
الإحداثيات القطبية
Polar Coordinates
المستوى القطبي والإحداثيات القطبية (r, θ) والتمثيلات المتعددة للنقطة الواحدة، التحويل بين الإحداثيات القطبية والديكارتية للنقاط والمعادلات، الصورة القطبية للعدد المركب z = r(cos θ + i sin θ) بمقياسه وسعته، وضرب الأعداد المركبة وقسمتها في الصورة القطبية.
الأقسام الفرعية
أمثلة محلولة
مثال ١
أيُّ النقاط التالية يمثّل النقطة نفسها التي تمثّلها (3, 45°) في المستوى القطبي؟
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٢
إذا كان للنقطة الإحداثي القطبي P(5 , π3) فما إحداثيها الديكارتي x؟
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٣
الصورة القطبية للمعادلة الديكارتية x = 2 هي:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٤
القيمة المطلقة (المقياس) للعدد المركب 3 + 4i تساوي:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٥
إذا كان z₁ = 5(cos π3 + i sin π3) و z₂ = 2(cos π6 + i sin π6)، فما حاصل ضرب z₁·z₂؟
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٦
في الإحداثيات القطبية، إذا كانت r سالبة فإن النقطة P تقع:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
نصائح الإتقان
- • للنقطة القطبية تمثيلاتٌ كثيرة: أضف/اطرح 360° للزاوية (مع بقاء r)، أو 180° مع قلب إشارة r.
- • من القطبي للديكارتي: x = r cos θ و y = r sin θ؛ ومن الديكارتي للقطبي: r = x² + y² و θ = tan⁻¹(yx).
- • لتحويل معادلة ديكارتية إلى قطبية عوّض x = r cos θ و y = r sin θ ثم بسّط (مثل x = 2 ⟶ r = 2 sec θ).
- • مقياس العدد المركب |a + bi| = a² + b² هو سعته (r في الصورة القطبية).
- • الضرب القطبي: اضرب المقياسين واجمع الزاويتين؛ القسمة: اقسم المقياسين واطرح الزاويتين.
أخطاء شائعة
- إضافة 180° للزاوية دون قلب إشارة r: إضافة 180° تعطي النقطة نفسها فقط إذا غيّرنا إشارة r معها (مثل (3,45°) = (−3,225°)).
- تبديل صيغتي x و y عند التحويل: x = r cos θ (مع المحور الأفقي)، و y = r sin θ.
- جمع المقياسين عند ضرب عددين مركبين: في الضرب نضرب المقياسين ونجمع الزاويتين فقط.
- إهمال حالتي a = 0 عند إيجاد السعة: إذا a = 0: السعة 90° إن كانت b موجبة، وَ 270° إن كانت b سالبة.