التحصيلي

اختبار التحصيل الدراسي — المسار العلمي

← النهايات
٢

القسم ١٦ · النهايات — الموضوع ٢ من ٣

النهايات والاتصال عند نقطة

تكون الدالة f(x) متصلةً عند x = a إذا تحقّق:

f(a) = limx→a⁻ f(x) = limx→a⁺ f(x) = L

أنواع عدم الاتصال:

النوعالوصفصورة النهاية
لا نهائيتتجه الدالة إلى ±∞ قرب النقطة (خطّ تقارب رأسي)n0 حيث n ≠ 0
قفزيالنهايتان اليمنى واليسرى موجودتان لكن غير متساويتين (وثبة)—
قابل للإزالةثقبٌ (فجوة) في المنحنى يمكن سدّه00
لا نهائيقفزيقابل للإزالة
أنواع عدم الاتصال: لا نهائيّ (خطُّ تقاربٍ رأسي)، قفزيّ (وثبةٌ بين مستويين: نقطةٌ مملوءةٌ وأخرى مفتوحة)، وقابلٌ للإزالة (ثقبٌ يُسَدّ في منحنًى متصل).
النهاية عند اللانهايةxyy = 2(0, -2)as x → ±∞ , f(x) → 2f(x) = 2 - 4/(1 + x2)النهاية عند اللانهاية
النهاية عند اللانهاية

حساب النهايات جبريًّا

نوجد limx→c f(x) بـ التعويض المباشر: نعوّض عن x بـ c.

مثالأوجد limx→4 (4x − 1).
بالتعويض المباشر: 4(4) − 1 = 16 − 1 = 15

لكن قد ينتج عند التعويض شكلٌ خاص:

  • n0 (و n ≠ 0): النهاية غير موجودة (عدم اتصالٍ لا نهائي).
  • 00: صيغةٌ غير محدَّدة تحتاج معالجة بإحدى طريقتين:
    • التحليل: نحلّل البسط والمقام ونختصر العوامل المشتركة.
    • المرافق: إذا ظهر جذرٌ تربيعي نضرب البسط والمقام في مرافق الطرف الذي يحوي الجذر.
مثالأوجد limx→1x² − 3x + 2x − 1.
التعويض المباشر يعطي 00 (صيغة غير محدَّدة).
نحلّل البسط: x² − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1)
limx→1(x − 2)(x − 1)x − 1 = limx→1 (x − 2) = 1 − 2 = −1

أمثلة على «النهايات والاتصال عند نقطة»

مثال ١

دالةٌ نهايتها اليمنى واليسرى عند نقطةٍ موجودتان لكنهما غير متساويتين. نوع عدم الاتصال عندها:

◎ توقّع الإجابة أولًا:

الموضوع السابق →← الموضوع التالي
قدّام | منصة التدريب على اختبارات القدرات والتحصيلي وموهبة