القسم ١٦
النهايات
Limits
تقدير النهايات بيانيًّا بالنهايتين اليمنى واليسرى وشرط وجود النهاية، النهايات والاتصال عند نقطة وأنواع عدم الاتصال (لا نهائي وقفزي وقابل للإزالة)، حساب النهايات جبريًّا بالتعويض المباشر ومعالجة الصيغة 0/0 بالتحليل أو المرافق، وسلوك طرفي التمثيل والنهايات عند المالانهاية لكثيرات الحدود والدوال النسبية.
الأقسام الفرعية
أمثلة محلولة
مثال ١
إذا كان limx→3⁻ f(x) = 5 و limx→3⁺ f(x) = −5، فما قيمة limx→3 f(x)؟
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٢
ما قيمة limx→5 (3x³ − 5x² − 3x − 10)؟
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٣
ما قيمة limx→4x² − 16x − 4؟
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٤
دالةٌ نهايتها اليمنى واليسرى عند نقطةٍ موجودتان لكنهما غير متساويتين. نوع عدم الاتصال عندها:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٥
ما قيمة limx→∞8x² + x − 224x³ − 13؟
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٦
ما قيمة limx→∞−7x² + 12x² + 3x؟
◎ توقّع الإجابة أولًا:
نصائح الإتقان
- • النهاية عند نقطةٍ موجودةٌ فقط إذا تساوت النهايتان اليمنى واليسرى؛ وإلا فهي غير موجودة.
- • الاتصال عند a يحتاج ثلاثة شروط معًا: f(a) معرّفة، النهاية موجودة، وتساويهما.
- • ابدأ دائمًا بالتعويض المباشر: إن نتج عددٌ فهو الجواب، وإن نتج 00 فعالِجْ بالتحليل أو المرافق، وإن نتج n0 فالنهاية غير موجودة.
- • كثيرات الحدود عند المالانهاية: انظر إلى الحدّ ذي القوة الأكبر فقط.
- • الدوال النسبية عند المالانهاية: بسط<مقام ⟶ 0، بسط=مقام ⟶ نسبة المعاملين الرئيسين، بسط>مقام ⟶ ±∞.
أخطاء شائعة
- الحكم بوجود النهاية رغم اختلاف الطرفين: النهاية موجودةٌ فقط عند تساوي اليمنى واليسرى؛ اختلافهما ⟶ غير موجودة (عدم اتصال قفزي).
- اعتبار الصيغة 00 جوابًا نهائيًّا (صفرًا أو غير موجودة): 00 صيغةٌ غير محدَّدة تتطلّب التحليل أو المرافق؛ أما n0 (n≠0) فالنهاية غير موجودة.
- مقارنة المعاملات بدل الدرجات في نهايات المالانهاية: قارن درجتي البسط والمقام أولًا، ثم استعمل المعاملين الرئيسين فقط عند تساوي الدرجتين.
- تعويض كل الحدود في كثيرة الحدود عند المالانهاية: عند x → ∞ يهيمن الحدّ ذو القوة الأكبر؛ فاكتفِ به لتحديد النهاية.