اختبار المشتقة الثانية

مشتقة ضرب دالتين f(x) = u·v:

f^′(x) = u^′·v + u·v^′

مشتقة قسمة دالتين f(x) = uv:

f^′(x) = u^′·v − u·v^′v²

المشتقات العليا: نشتق المشتقة الأولى فنحصل على المشتقة الثانية f^″(x) (ورمزها أيضًا d²fdx²)، ونشتقها مرةً أخرى فنحصل على الثالثة، وهكذا.

مثالأوجد مشتقة f(x) = x(x² − 3) بقاعدة الضرب.

حاول أولًا، ثم اعرض الحل

f^′(x) = (1)(x² − 3) + (x)(2x) = x² − 3 + 2x² = 3x² − 3

واختبارُ المشتقة الثانية عند نقطةٍ حرجة: إشارةٌ موجبةٌ تدلّ على قيمةٍ صغرى، وسالبةٌ على قيمةٍ عظمى:

اختبار المشتقة الثانية

والتقعّر: المنحنى مقعّرٌ لأعلى حيث f^″ > 0 ومقعّرٌ لأسفل حيث f^″ < 0، ونقطةُ الانقلاب حيث ينقلب التقعّر:

التقعّر ونقطة الانقلاب

مشتقة ضرب دالتين f(x) = u·v:

f^′(x) = u^′·v + u·v^′

مشتقة قسمة دالتين f(x) = uv:

f^′(x) = u^′·v − u·v^′v²

مثالأوجد مشتقة f(x) = x(x² − 3) بقاعدة الضرب.

حاول أولًا، ثم اعرض الحل

f^′(x) = (1)(x² − 3) + (x)(2x) = x² − 3 + 2x² = 3x² − 3

واختبارُ المشتقة الثانية عند نقطةٍ حرجة: إشارةٌ موجبةٌ تدلّ على قيمةٍ صغرى، وسالبةٌ على قيمةٍ عظمى:

اختبار المشتقة الثانية

والتقعّر: المنحنى مقعّرٌ لأعلى حيث f^″ > 0 ومقعّرٌ لأسفل حيث f^″ < 0، ونقطةُ الانقلاب حيث ينقلب التقعّر:

التقعّر ونقطة الانقلاب

مشتقة الضرب والقسمة والمشتقات العليا