القسم ١٧
الاشتقاق والتكامل
Differentiation & Integration
قواعد الاشتقاق الأساسية (الثابت والقوة والجذر والمضروب بثابت) ومشتقة المجموع والفرق وإيجاد f′(a)، مشتقة الضرب والقسمة والمشتقات العليا، تعيين القيم العظمى والصغرى جبريًّا بالنقاط الحرجة وأطراف الفترة، التكامل غير المحدد وقواعده، التكامل المحدد وخصائصه (F(b) − F(a))، والمساحة المحصورة تحت المنحنى بالتكامل.
الأقسام الفرعية
أمثلة محلولة
مثال ١
مشتقة الدالة f(x) = 3x² − 5x + 12 تساوي:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٢
إذا كانت f(x) = x²، فما قيمة f′(5)؟
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٣
إذا كانت f(x) = (x² − 4)(2x − 5) فإن f′(x) تساوي:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٤
النقاط الحرجة للدالة هي النقاط التي عندها المشتقة الأولى:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٥
التكامل ∫ (8x³ + x − 7x⁻⁵) dx يساوي:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
مثال ٦
قيمة التكامل المحدد ∫31 (2x − 5) dx تساوي:
◎ توقّع الإجابة أولًا:
نصائح الإتقان
- • قاعدة القوة هي الأساس: مشتقة xⁿ = n·xn−1، ومشتقة الثابت صفر؛ حوّل الجذور والكسور إلى أسس قبل الاشتقاق.
- • لإيجاد f′(a) اشتقّ أولًا ثم عوّض — لا تعوّض قبل الاشتقاق.
- • الضرب: (مشتقة الأولى)(الثانية)+(الأولى)(مشتقة الثانية)؛ القسمة: البسط في القاعدة هو (مشتقة البسط)(المقام)−(البسط)(مشتقة المقام) على (المقام)².
- • القيم القصوى على فترةٍ مغلقة: قارن قيم الدالة عند النقاط الحرجة الداخلية وعند طرفي الفترة.
- • التكامل عكس الاشتقاق: ارفع الأس واحدًا واقسم عليه، ولا تنسَ +C في غير المحدد؛ والمحدد = F(b) − F(a) ويعطي المساحة تحت المنحنى.
أخطاء شائعة
- تطبيق قاعدة قسمة خاطئة الترتيب في البسط: بسط القسمة = (مشتقة البسط)(المقام) − (البسط)(مشتقة المقام)، بهذا الترتيب، على (المقام)².
- نسيان ثابت التكامل C في التكامل غير المحدد: أضِف دائمًا + C للتكامل غير المحدد؛ أما المحدد فقيمةٌ عددية بلا C.
- إيجاد القيم القصوى عند النقاط الحرجة فقط: على فترةٍ مغلقة قارن أيضًا قيمتي الدالة عند الطرفين a و b، لا النقاط الحرجة وحدها.
- قسمة معامل xⁿ على n بدل (n+1) عند التكامل: في التكامل نرفع الأس إلى n + 1 ونقسم على (n+1): ∫ xⁿ dx = xn+1n + 1 + C.